第3课：气候敏感度和反馈¶

前言

关于之前课后作业的问题和讨论
- 零维EBM
- 指数张弛
- 逐步将模型转到平衡态
- 具有冰反照率反馈的多重均衡
阅读分配：
- 每个人都需要阅读“气候模型入门（第四版）”第一章和第二章
- 它现在在科学图书馆储备
- 尽快阅读，但绝对在中期考试之前
讨论IPython笔记本的使用

1. 反馈概念¶

从电气工程中借鉴的一个概念。大家可能都听过或曾经使用这个术语，但我们今天会尝试更精确的方法。

当系统的一部分输出被添加到输入并随后改变输出时，就会发生反馈：

In [6]:

from IPython.display import Image
Image(filename='./image/feedback_sketch.png', width=500)

Out[6]:

_images/03_Climate_Sensitivity_and_Feedback_4_0.png

循环系统的结果可以是放大或衰减过程，这取决于循环中获得的符号。

我们将称放大反馈为正反馈和削弱反馈为负反馈。

我们可以把这里的“过程”看作是整个气候系统，它包含许多正反馈和负反馈的例子。

两个经典例子：¶

水汽反馈¶

保持水汽（饱和比湿）的大气容量随着温度呈指数增长。因此，变暖伴随着湿润（更多的水汽），由于水蒸气温室效应的增强，导致变暖。

正反馈还是负反馈？

海冰-反照率反馈¶

较冷的气温导致冰雪覆盖的地区扩张，这往往比水和植被反射更多。这导致吸收的太阳辐射减少，这导致更多的冷却。

正反馈还是负反馈？

确保清楚的是，无论我们是在谈论变暖还是降温，反馈的标志都是一样的。

2. 气候反馈：一些定义¶

让我们回到行星能量收支的概念：

$\begin{equation*} C\frac{dT_{s}}{dt}=F_{TOA} \end{equation*}$

这里

$\begin{equation*} F_{TOA}=(1-\alpha)Q-\sigma T_{e}^{4} \end{equation*}$

是大气层顶净向下能量通量。

因此当行星处于平衡状态，我们有 $d/dt=0$ ，或进来的太阳能=出去的长波。

假设我们通过增加一些额外的能量来改变气候，可能是由于温室气体的增加或者反射性气溶胶的减少。把这个额外的能量称为辐射强迫，用单位为 $W m^{-2}$ 的R表示。

气候变化将受制于

$\begin{equation*} C\frac{d\Delta T_{s}}{dt}=R+\Delta F_{TOA} \end{equation*}$

这里 $\Delta T_{s}$ 为全球平均表面温度的变化。这个收支解释了 $T_{s}$ 的两类变化：

由于辐射强迫：R
由于辐射过程变化（内部对气候系统）导致： $\Delta F_{TOA}$

反馈因子：扰动能量收支的线性化¶

气候反馈分析的重要假定是辐射通量的变化正比于表面温度的变化：

$\begin{equation*} \Delta F_{TOA}=\lambda\Delta T_{s} \end{equation*}$

这里 $\lambda$ 是比例常数，单位为 $W m^{-2} K^{-1}$ 。

在数学上，我们假设变化足够小，以至于我们可以将关于平衡状态的收支线性化（正如我们之前对零维能量平衡模式分析所做的那样）。

使用一阶泰勒级数展开法， $\lambda$ 的一般定义就是这样

$\begin{equation*} \lambda=\frac{\partial}{\partial T_{s}}\left(\Delta F_{TOA}\right) \end{equation*}$

则扰动温度的收支为

$\begin{equation*} C\frac{d\Delta T}{dt}=R+\lambda\Delta T_{s} \end{equation*}$

我们称 $\lambda$ 为气候反馈参数。

我们需要气候模式的一个关键问题是：

给定的辐射强迫我们预期会变暖多少？

或者更明确地说，如果我们把大气中的二氧化碳浓度加倍（我们将在后面看到，这会产生大约 $4 W m^{-2}$ 的辐射强迫），会有多大的变暖。

如果有足够的时间，系统将达到新的平衡温度，在这点

$\begin{equation*} \frac{d\Delta T_{s}}{dt}=0 \end{equation*}$

因此扰动收支为

$\begin{equation*} 0=R+\lambda\Delta T_{s} \end{equation*}$

或

$\begin{equation*} \Delta T_{s}=-\frac{R}{\lambda} \end{equation*}$

这里 $R$ 为单位 $W m^{-2}$ 的强迫， $\lambda$ 为单位 $W m^{-2} K^{-1}$ 的反馈。

请注意，我们尚未为辐射排放调用特定模型（尚未）。这是一个非常普遍的概念，我们可以应用于任何气候模型。

我们已经在这里定义了这样的事情：对于正反馈， $\lambda>0$ ，对于负反馈， $\lambda<0$ 。这很方便！

反馈分解为几项¶

另一个要注意到的事情，我们可以将总的气候反馈根据不同过程分解为几项：

$\begin{equation*} \lambda=\lambda_{0}+\lambda_{1}+\lambda_{2}+...=\sum_{i=0}^{n}{\lambda_{i}} \end{equation*}$

这是可能的因为我们的线性假定取决于 $\Delta T_{s}$ 。

例如，我们可以分解净气候反馈为： - 长波和短波过程 - 云和非云过程

这些单独反馈过程可正可负。这是非常强大的，因为我们可以简单地通过比较它们的 $\lambda_{i}$ 值来测量不同反馈过程的相对重要性。

让我们保留符号 $\lambda$ 来表示整体或净气候反馈，并使用下标表示具体的反馈过程。

问题： $\lambda$ 的符号是什么？

对于正的 $\lambda$ 的行星有能量平衡吗？考虑一下你的经验求解能量收支方程。

3. 对于零维能量平衡模式计算 $\lambda$ ¶

我们的原型气候模型是零维EBM

$\begin{equation*} C\frac{dT_{s}}{dt}=(1-\alpha)Q-\sigma(\beta T_{s})^{4} \end{equation*}$

这里 $\beta$ 是测量表面温度和辐射温度比值的参数。从观测我们估算

$\begin{equation*} \beta=255/288=0.885 \end{equation*}$

现在我们增加一个入射强迫到模式：

$\begin{equation*} C\frac{dT_{s}}{dt}=(1-\alpha)Q-\sigma(\beta T_{s})^{4}+R \end{equation*}$

在之前的课程中我们看到可以使用一阶泰勒展开将参考温度 $\bar{T_{s}}$ 表示为

$\begin{equation*} C\frac{dT_{s}}{dt}=R+\lambda\Delta T_{s} \end{equation*}$

比率常数

$\begin{equation*} \lambda=-\left(4\sigma\beta^{4}\bar{T_{s}}^{3}\right) \end{equation*}$

这里，根据我们刚刚介绍的术语，这个模型是净气候反馈。

按观测的全球平均温度288K和采用我们调整 $\beta$ 值估算 $\lambda$ 为

$\begin{equation*} \lambda=-3.3W m^{-2}K^{-1} \end{equation*}$

请注意，在此模型中我们将反照率 $\alpha$ 视为固定。下面我们将推广到变化的反照率。

这意味什么？¶

这意味着，对于我们投入系统的每 $W m^{-2}$ 的能量，我们的模型预测表面温度必须增加 $-1/\lambda=0.3 K$ 才能重新建立行星能量平衡。

这个模型只代表一个单一的反馈过程：随着地表变暖，发射到空间的长波增加。

这被称为普朗克反馈，因为它基本上是由于普朗克黑体辐射定律（温度较高=较高的辐射）。

这里和以后我们将用 $\lambda_{0}$ 表示这个反馈。为了清楚，我们正在说这个特定的气候模型

$\begin{equation*} \lambda=\lambda_{0}=-\left(4\sigma\beta^{4}\bar{T_{s}}^{3}\right) \end{equation*}$

每个气候模式有一个普朗克反馈¶

普朗克反馈是最基本和最普遍的气候反馈，存在于每个气候模式中。这仅仅是一个事实的表达，一个温暖的行星比一个冷的行星向太空辐射更多。

正如我们将看到的，我们对 $\lambda_{0}=-3.3W m^{-2} K^{-1}$ 的估计基本上与从复杂GCM诊断的普朗克反馈相同。与我们简单的零维模型不同，大多数其他的气候模式（和真实的气候系统）都有其他的辐射过程，例如 $\lambda\ne\lambda_{0}$ 。

4. 气候敏感度¶

现在定义另一个重要项： 平衡气候敏感度（Equilibtrium Climate Sensitivity(ECS)）（指平衡全球平均温度对大气中 $CO_{2}$ 浓度相对于工业化前加倍的响应。）：大气 $CO_{2}$ 加倍后，为了平衡行星能量收支所需的全球平均地表变化。

我们将这个温度写为 $\Delta T_{2\times CO_{2}}$ 。

ECS是一个重要的数。气候模拟的一个主要目标是提供ECS及其不确定性的更好估算。

对于我们的零维模式估算ECS。我们知道对于任何给定强迫 $R$ 增暖为

$\begin{equation*} \Delta T_{s}=-\frac{R}{\lambda} \end{equation*}$

为了计算 $\Delta T_{2\times CO_{2}}$ ，我们需要知道来自加倍 $CO_{2}$ 的辐射强迫，其表示为 $R_{2\times CO_{2}}$ 。我们稍后会在这个学期花一些时间来看这个数量。现在，我们只需要一个合理值

$\begin{equation*} R_{2\times {CO_{2}}} \approx 4Wm^{-2} \end{equation*}$

我们对ECS的估计直接遵循：

$\begin{equation*} \Delta T_{2\times {CO_{2}}}=-\frac{R_{2\times {CO_{2}}}}{\lambda}=-\frac{4 W m^{-2}}{-3.3 W m^{-2} K^{-1}}=1.2K \end{equation*}$

这是一个很好的估计？¶

什么是目前ECS的最佳估计？

最新的IPCC报告AR5给出的可能范围为1.5至4.5K.（这些数字有很多不确定性——我们一定会回到这个问题）

所以我们最简单的简单气候模型显然低估了气候敏感度。

假设真实值是 $\Delta T_{2\times CO_{2}}=3K$ （范围的中间）。

这意味着真正的净反馈是

$\begin{equation*} \lambda=-\frac{R_{2\times CO_{2}}}{\Delta T_{2\times CO_{2}}}=-\frac{4Wm^{-2}}{3K}=-1.3W m^{-2}K^{-1} \end{equation*}$

然后我们可以推断出“缺失”反馈的总数：

$\begin{align*} \lambda &= \lambda_{0}+\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}}\\ -1.3Wm^{-2}K^{-1} &= -3.3Wm^{-2}K^{-1} + \sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}}\\ \sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}} &= +2.0Wm^{-2}K^{-1} \end{align*}$

没有包含在我们简单模型中的所有过程的净效应是一个正反馈，它提高了平衡气候敏感度。我们的模型不能准确预测全球变暖，是因为它没有考虑到这些正反馈。

（这并不意味着与每个缺失的过程相关的反馈是正反馈！只是所有缺少的反馈的线性总和是正的！

这与我们上面的讨论是一致的。我们以两个例子（水汽和反照率反馈）开始了我们的反馈讨论，这两个例子都是正反馈，都没有出现在我们的模型中！

我们已经看到（在作业练习中）一种将反照率反馈添加到零维模型的简单方法。我们将在下面分析这个版本的模型。但首先，我们来看看现有GCM诊断的反馈。

5. 来自复杂气候模式的反馈诊断¶

来自IPCC AR5的数据¶

这个数字是从最近的IPCC AR5报告中复制的。它显示了来自评估的各种模式的诊断反馈。

（在术语的后面，我们将讨论如何实际的反馈诊断）

请参阅下面的完整引用信息。

In [7]:

feedback_ar5 = 'http://www.climatechange2013.org/images/figures/WGI_AR5_Fig9-43.jpg'
Image(url=feedback_ar5, width=800)

Out[7]:

图9.43 （a）CMIP3和CMIP5模型（左和右列符号）对于普朗克（P），水汽（WV），云层（C），反照率（A），递减率（LR），包含水汽和递减率（WV+LR）以及除Planck（ALL）以外的所有反馈的总和的单个反馈的强度。继Soden等（2008年）后Soden和Held（2006）以及Vial等人（2013）。 CMIP5反馈源自CMIP5模拟，用于突破CO2浓度四倍增长（4×CO2）。（b）使用Andrews等人（2012）的回归技术获得的ECS，根据二氧化碳排放总量与所有反馈总和的比例估算。二氧化碳的ERF是Andrews等人（2012）4×CO2强迫的一半，总反馈（ALL + Planck）来自Vial等（2013）。

图表标题从AR5 WG1报告中转载

图例：

P：普朗克反馈
WV：水汽反馈
LR：失效率反馈
WV + LR：结合水汽加上失效率反馈
C：云端反馈
A：表面反照率反馈
ALL：除Plank以外的所有反馈的和，即ALL = WV + LR + C + A

注意：

这些模型都支持普朗克反馈。
正如我们上面的估计，普朗克反馈大约是 $\lambda_{0}=-3.3Wm^{-2}K^{-1}$ 。
每个模型的水汽反馈是很强的正反馈。
递减率反馈是我们稍后将研究的。这是微不足道的。
由于我们稍后会讨论的原因，测量水汽反馈的最好方法是将其与递减率反馈相结合。
模型强烈地同意水汽加递减率的反馈。
反照率反馈略有正反馈，但相对较小。
到目前为止，模型中最大的传播发生在云反馈中。
全球云反馈的范围从略微负反馈到强烈正反馈。
总反馈中的大部分传播是由于云反馈中的传播。
因此，ECS在模型中的大部分传播是由于云反馈中的传播。
我们对所有缺失过程的估计值为 $+2.0Wm^{-2}K^{-1}$ ，与GCM集合一致。

引用这是来自IPCC AR5第一工作组报告第九章的图9.43。

报告和图片可以在线 http://www.climatechange2013.org/report/full-report/

完整引用如下:

Flato, G., J. Marotzke, B. Abiodun, P. Braconnot, S.C. Chou, W. Collins, P. Cox, F. Driouech, S. Emori, V. Eyring, C. Forest, P. Gleckler, E. Guilyardi, C. Jakob, V. Kattsov, C. Reason and M. Rummukainen, 2013: Evaluation of Climate Models. In: Climate Change 2013: The Physical Science Basis. Contribution of Working Group I to the Fifth Assessment Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change [Stocker, T.F., D. Qin, G.-K. Plattner, M. Tignor, S.K. Allen, J. Boschung, A. Nauels, Y. Xia, V. Bex and P.M. Midgley (eds.)]. Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom and New York, NY, USA, pp. 741–866, doi:10.1017/CBO9781107415324.020

6. 零维模式变化反照率的反馈分析¶

模型¶

在最近的作业中，您被要求在零维EBM中包括一个新的过程：取决于温度的反照率。

我们使用了以下公式：

$\begin{equation*} C\frac{dT_{s}}{dt}=(1-\alpha)Q-\sigma(\beta T_{s})^{4}+R \end{equation*}$

$\begin{equation*} \alpha(T_{s})=\ \left\{ \begin{aligned} &\alpha_{i} & T_{s}\le T_{i}\\ &\alpha_{0}+(\alpha_{i}-\alpha_{0})\frac{(T_{s}-T_{0})^{2}}{(T_{i}-T_{0})^{2}} & T_{i} < T_{s} < T_{0}\\ &\alpha_{0} & T_{s}\ge T_{0} \end{aligned} \right\}. \end{equation*}$

具有以下参数：

$R$ 是单位 $Wm^{-2}$ 的辐射强迫
$C = 4\times 10^{8}8Jm^{-2}K^{-1}$ 是大气——海洋柱的热容量
$\alpha$ 是全球平均行星反照率
$\sigma = 5.67\times 10^{-8}Wm^{-2}K^{-4}$ 是Stefan-Boltzmann常数
$\beta = 0.885$ 是我们的表面温度和辐射温度之间的比例参数
$Q = 341.3Wm^{-2}$ 是全球平均入射太阳辐射。
$\alpha_{0}=0.289$ 是一个温暖的无冰行星的反照率
$\alpha_{i}=0.7$ 是一个非常寒冷，完全冰覆盖的行星的反照率
$T_{0} = 293K$ 是我们的模型假定行星无冰的阈值温度
$T_{i} = 260K$ 是阈值温度，在此温度以下，我们的模型假定行星完全被冰覆盖。

正如你在作业中发现的那样，这个模型有多重平衡态。对于上面列出的参数，有三个平衡态。温暖的（今天的）解和完全冰覆盖的解都是稳定的平衡态。有一个中间解是不稳定的平衡态。

反馈分析¶

在这个模型中，反照率不是固定的，而是取决于温度。因此，它会随最初的变暖或冷却而改变。一个反馈！

现在这个模型的净气候反馈

$\begin{equation*} \lambda = \lambda_{0}+\lambda_{\alpha} \end{equation*}$

我们将反照率贡献表示为 $\lambda_{\alpha}$ 。

普朗克反馈不变： $\lambda_{0}=-3.3Wm^{-2}K^{-1}$ 。

为了计算 $\lambda_{\alpha}$ ，我们需要线性化反照率函数。像其他任何线性化一样，我们使用泰勒展开式，必须采取一阶导数：

$\begin{align*} \Delta F_{TOA} = \lambda\Delta T_{s} = (\lambda_{0}+\lambda_{\alpha})\Delta T_{s}\\ \lambda_{0}=-\left(4\sigma\beta^{4}\bar{T_{s}}^{3}\right)\\ \lambda_{\alpha}=\frac{d}{dT_{s}}\left((1-\alpha)Q\right)=-Q\frac{d\alpha}{dT_{s}} \end{align*}$

使用上述定义的反照率函数，我们得到

$\begin{equation*} \lambda_{\alpha}=-Q\ \left\{ \begin{aligned} &0 & T_{s}\le T_{i}\\ &2(\alpha_{i}-\alpha_{0})\frac{(T_{s}-T_{0})^{2}}{(T_{i}-T_{0})^{2}} & T_{i} < T_{s} < T_{0}\\ &0 & T_{s}\ge T_{0} \end{aligned} \right\}. \end{equation*}$

请注意，我们刚刚计算的反馈不是恒定的，而是取决于气候系统的状态（即表面温度）。

在Python中编写模型¶

这在很大程度上重复了我要求你做的功课。

In [8]:

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

In [9]:

def albedo(T, alpha_o = 0.289, alpha_i = 0.7, To = 293., Ti = 260.):
    alb1 = alpha_o + (alpha_i-alpha_o)*(T-To)**2 / (Ti - To)**2
    alb2 = np.where(T>Ti, alb1, alpha_i)
    alb3 = np.where(T<To, alb2, alpha_o)
    return alb3

In [10]:

def ASR(T, Q=341.3):
    alpha = albedo(T)
    return Q * (1-alpha)

def OLR(T, sigma=5.67E-8, beta=0.885):
    return sigma * (beta*T)**4

def Ftoa(T):
    return ASR(T) - OLR(T)

In [11]:

T = np.linspace(220., 300., 100)

plt.plot(T, albedo(T))
plt.xlabel('Temperature (K)')
plt.ylabel('albedo')
plt.ylim(0,1)
plt.title('Albedo as a function of global mean temperature')

Out[11]:

<matplotlib.text.Text at 0x10f597c10>

_images/03_Climate_Sensitivity_and_Feedback_25_1.png

图形解：TOA通量作为温度的函数¶

In [12]:

plt.plot(T, OLR(T), label='OLR')
plt.plot(T, ASR(T), label='ASR')
plt.plot(T, Ftoa(T), label='Ftoa')
plt.xlabel('Surface temperature (K)')
plt.ylabel('TOA flux (W m$^{-2}$)')
plt.grid()
plt.legend(loc='upper left')

Out[12]:

<matplotlib.legend.Legend at 0x10f7e2910>

_images/03_Climate_Sensitivity_and_Feedback_27_1.png

得到三个平衡态温度的数值解¶

In [13]:

# Use numerical root-finding to get the equilibria
from scipy.optimize import brentq
# brentq is a root-finding function
#  Need to give it a function and two end-points
#  It will look for a zero of the function between those end-points
Teq1 = brentq(Ftoa, 280., 300.)
Teq2 = brentq(Ftoa, 260., 280.)
Teq3 = brentq(Ftoa, 200., 260.)

print(Teq1, Teq2, Teq3)

(288.07486360356785, 273.9423668460388, 232.92995904643783)

邻近两两平衡态间的反馈分析¶

In [14]:

def lambda_0(T, beta=0.885, sigma=5.67E-8):
    return -4 * sigma * beta**4 * T**3

def lambda_alpha(T, Q=341.3, alpha_o = 0.289, alpha_i = 0.7,
                 To = 293., Ti = 260.):
    lam1 = 2*(alpha_i-alpha_o)*(T-To) / (Ti - To)**2
    lam2 = np.where(T>Ti, lam1, 0.)
    lam3 = np.where(T<To, lam2, 0.)
    return -Q * lam3

在这里，我们将循环通过每个平衡态温度并计算这些温度的反馈因子。

此代码还显示了如何使用打印功能完成合适的数字输出的示例。格式字符串{:.1f}表示浮点数四舍五入到小数点后一位。

In [24]:

for Teq in (Teq1, Teq2, Teq3):
    print('Equilibrium temperature: {:.1f} K'.format(Teq))
    print('   Planck feedback: {:.1f}  W/m2/K'.format(lambda_0(Teq)))
    print('   Albedo feedback: {:.1f}  W/m2/K'.format(lambda_alpha(Teq)))
    print('         Net feedback: {:.1f} W/m2/K'.format((lambda_0(Teq) + lambda_alpha(Teq))))

Equilibrium temperature: 288.1 K
   Planck feedback: -3.3  W/m2/K
   Albedo feedback: 1.3  W/m2/K
         Net feedback: -2.1 W/m2/K
Equilibrium temperature: 273.9 K
   Planck feedback: -2.9  W/m2/K
   Albedo feedback: 4.9  W/m2/K
         Net feedback: 2.0 W/m2/K
Equilibrium temperature: 232.9 K
   Planck feedback: -1.8  W/m2/K
   Albedo feedback: -0.0  W/m2/K
         Net feedback: -1.8 W/m2/K

反馈分析的结果¶

普朗克反馈总是负反馈，但是在非常寒冷的温度下，绝对值变弱了。
该模型中的反照率反馈强烈依赖于系统的状态。
在中间解 $T_{s}=273.9K$ 时，反照率反馈强烈为正反馈。
在这个中间温度下净反馈是正反馈。
在温暖和寒冷的温度下，净反馈是负反馈。

净正反馈意味什么？¶

回想一下线性模型的分析解决方案，温度将根据

$\begin{equation*} \Delta T_{s}(t)=\Delta T_{s}(0)exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \end{equation*}$

时间尺度为

$\begin{equation*} \tau=\frac{C}{-\lambda} \end{equation*}$

在 $T_{s}=273.9K$ 附近，由于非常强的反照率反馈，我们发现 $\lambda>0$ 。因此在这种情况下 $\tau<0$ ，我们正在处理温度异常的指数增长而不是指数衰减。

换句话说，如果全球平均温度接近（但不是完全）这个值：

In [25]:

print(Teq2)

273.942366846

气候系统将快速升温或降温。温度不会接近 $T_{s}=273.9K$ 。这是一个不稳定平衡的例子。

扰动后系统的最终状态将是稳定的平衡态之一：

In [26]:

print(Teq1, Teq3)

(288.07486360356785, 232.92995904643783)

希望这与您在作业中以数值解方式找到的一致。